Los problemas del milenio. Parte 2.

Perdonen por lo geek del asunto, pero volvemos con un tema ya tratado anteriormente en este blog, el de los 7 problemas del milenio, que serían 8 si Andrew Wiles no se hubiese entrometido... En fin, otro de los problemas, el teorema de Poincaré, una cosa muy complicada de topología que intentaré explicar muy por encima, ha dado bastante que hablar estos días...

Pero vayamos primero con la conjetura (si quieren pueden saltarse los próximos tres párrafos) Para ello transcribiré casi totalmente este artículo, que es el que mejor (y más claro) está de los que he visto. En el mundo de la topología, una esfera es una esfera, no importa lo que le hagáis, aunque acabe deformada, retorcida y con una estructura extraña, seguirá siendo una esfera. Y otra cosa, no puedes agujerearla, porque si lo haces estarás frente a otra clase diferente de objeto. Así que si te encuentras por la calle con una forma extraña y complicada cuya superficie esté llena de picos y valles, pero sin agujeros, no importa lo que pienses: es una esfera. Para un topólogo, las esferas son objetos 2-dimensionales, aunque a nosotros nos parezcan tridimensionales. Esto es porque se refieren exclusivamente a su superficie. Pensad que si nos referimos a la Tierra, durante siglos se pensó que era plana (bidimensional), porque precisamente cuando miramos alrededor desde la superficie nos parece que lo es.

Poincaré conjeturó que había una superficie análoga a la esfera en el espacio 3-dimensional, algo muy difícil de visualizar. Se supone que el Universo es 3-dimensional, así que imaginad que este universo 3-esférico está distorsionado, arrugado, dilatado y deformado (pero no agujereado): podríamos cruzar nuestra calle y acabar en Marte. También podéis pensar en una esfera a la que se le ata un lazo elástico; de cualquier manera que lo hagáis, arrastrándolo por la superficie conseguiréis sacarlo: esta es una superficie "conectada". Un dónut no está "conectado", porque si hacemos que el lazo pase por el centro, no podremos sacarlo a menos que rompamos el dónut o el lazo.

Si visualizamos un globo arrugado, sobre el que quisiéramos averiguar su forma, podríamos inflarlo con aire hasta llegar a su forma redondeada característica, la cual resulta ser la forma más simple. La idea de usar aire o calor a una forma complicada fue desarrollada por Richard Hamilton en los locos 80s y se llama Ricci Flow. Este matemático estuvo a punto de resolver la conjetura de Poincaré, pero no pudo con las singularidades que podían surgir. Por ejemplo, si el globo sale con la forma de una pesas, la barra conectando las dos esferas (que se volvería más fina a medida que se inflan las esferas) sería una singularidad.

Bueno, si han llegado hasta aquí, es que tienen ganas de leer el artículo... Ahora empieza lo sencillo. En el año 2002, el matemático ruso Grigori Perelman anunció que había resuelto una conjetura general que implicaba la de Poincaré, llegando a publicar algunos artículos preliminares y a aparecer en alguna conferencia. Perelman decidió cortar por lo sano la propuesta de Hamilton y cortó (ejem) la singularidad (la barra), obteniendo así dos esferas indistinguibles topológicamente hablando, dando con una solución imaginativa e inesperada al problema... Bueno, pues ahí se quedó su propuesta, hasta que en Junio de este mismo año dos matemáticos chinos, Zhu Xiping y Cao Huaidong, apoyados públicamente por otro matemático famoso, Shing-Tung Yau (y ganador de la Medalla Fields, véase adelante), anunciaron que habían resuelto de una vez la maldita conjetura de manera completa. Mmmm...

Total, que al final, un comité de nueve importantes matemáticos decidió premiar a Perelman por su trabajo en la demostración en la conjetura, y nada menos que con la Medalla Fields, el más alto reconocimiento en el mundo de los números. Parece ser que el presidente de la International Mathematical Union se presentó en San Petersburgo para convencerle de que aceptara el premio. Se rindió después de intentarlo durante dos días, ya que Perelman tenía claro que el premio era "totalmente irrelevante para mi" Y ya más oficial, en el Congreso Internacional de Matemáticos de Madrid, rechazó la oferta pública de la medalla, negando incluso presentarse. En cuanto al premio del milenio (no olvidemos que es de 1 milloncejo de dólares americanos), parece ser que nadie tiene duda de que es el responsable (junto con Hamilton) de la resolución del problema, aunque tendría que esperar todavía dos años, ya que debe ser sometida a dos años de escrutinio público, según las reglas.

Perelman está actualmente sin trabajo, viviendo con su madre en las afueras de San Petersburgo, y ha declarado en una entrevista reciente que está decepcionado con la comunidad matemática y su falta de ética, incluso dice que él mismo no se considera un matemático: "Mientras no era conocido tenía la posibilidad de decir cosas feas [sobre la profesión] o ser tratado como una mascota. Al pasar a ser conocido, no puedo ser una mascota y no decir nada. Por eso me he tenido que ir" Reconoce estar dolido con Hamilton porque no quiso trabajar con él, de Yau dice que "otras personas hacen cosas peores" y comenta que vive de lo poco que tiene ahorrado y de la pensión de su madre (profesora de matemáticas), ya que (según él) fue expulsado del Instituto Steklov el Diciembre pasado, no teniendo dinero ni para el viaje a Madrid. Ahora queda por saber si recibe el premio del milenio, y si lo aceptará o no. Veremos hasta donde llegan sus ideales....



PD: si quieren saber algo más (aunque lo dudo) sobre la conjetura de Poincaré y otras cosas interesantes, puede ir aqui.